Quanto tempo impiegherebbe una scimmia a scrivere "Amleto"?

Il cosiddettoteorema della scimmia infinita sostiene che una scimmia con una macchina da scrivere che preme tasti a caso finirebbe per scrivere qualsiasi opera letteraria: Amleto , Don Chisciotte o persino un best- seller di sua creazione. Sebbene non sia molto applicabile nella pratica – è quantomeno complicato avere una scimmia immortale disposta a digitare all'infinito – questa affermazione ci permette di esplorare concetti molto interessanti come la casualità, il comportamento all'infinito e il calcolo basato sulla generazione di numeri pseudo-casuali.

Questa è una conseguenza diretta del secondo lemma di Borel-Cantelli . Questo lemma afferma che se ogni tentativo di ottenere un particolare risultato è indipendente da tutti gli altri e ha una probabilità di successo maggiore di zero, allora, dati sufficienti tentativi, quel risultato si verificherà infinite volte. Nel caso del teorema della scimmia infinita, se una scimmia preme dei tasti in modo casuale all'infinito, la probabilità che digiti un dato testo in un singolo tentativo è molto bassa, ma non zero. Poiché i tentativi vengono ripetuti indefinitamente e sono indipendenti l'uno dall'altro, secondo il lemma, la scimmia finirà per digitare il testo desiderato infinite volte .

Per essere soddisfatto, il teorema si basa su diverse ipotesi. La prima è che la scimmia debba digitare in modo casuale. Colloquialmente, intendiamo un fenomeno casuale come un fenomeno il cui esito non può essere determinato con certezza prima che si verifichi, anche se le condizioni iniziali sono note. Esempi di casualità includono il lancio di un dado o l'estrazione della Lotteria di Natale. Nel caso della scimmia, si presume che, a ogni pressione di un tasto, tutte le lettere dell'alfabeto abbiano la stessa probabilità di essere estratte, indipendentemente dal testo già scritto.

Questa condizione ci permette di calcolare la probabilità che la scimmia digiti una qualsiasi sequenza. Ad esempio, la probabilità di digitare "ciao" premendo casualmente quattro tasti su una tastiera spagnola (considerando solo le lettere e lo spazio) è (1/27)^4, circa 0,0000019. Questo piccolo valore, per una sequenza così breve, mostra già quanto sia complicato il problema.

Ecco la seconda ipotesi del teorema: il tempo a disposizione è infinito, e quindi i tentativi sono infiniti. Dopo n tentativi, che si suppone isolati per semplicità, la probabilità che la sequenza "ciao" non appaia è (1 - 0,0000019)^ n . Sebbene (1 - 0,0000019) sia molto vicino a 1, moltiplicandolo per se stesso n volte, se n è sufficientemente grande, si ottiene un valore prossimo a zero. Pertanto, la scimmia scriverà "ciao" con una probabilità quanto più alta possibile.

Lo stesso vale per qualsiasi altra sequenza, anche quella che include tutte le parole di Amleto , in ordine, ed è ciò su cui si basa il teorema delle scimmie infinite. Ora, possiamo stimare approssimativamente quanto tempo ci vorrebbe per produrre il classico di Shakespeare, con un'alta probabilità? In un recente articolo, hanno calcolato che, con quasi assoluta certezza, l'intera popolazione di scimmie attuale non sarebbe in grado di scrivere un testo di più di poche parole prima della morte termica dell'universo.

Un altro interessante esperimento correlato a questo teorema permette all'utente di inserire una sequenza qualsiasi e simula la generazione casuale di testo fino a quando non viene trovata la sequenza indicata. Per produrre il testo, questa pagina utilizza i cosiddetti generatori di numeri pseudo-casuali . Essendo basati su regole, i calcoli eseguiti da questi programmi sono completamente deterministici: se tutte le condizioni iniziali sono note, il numero generato può essere predetto. In altre parole, i numeri pseudo-casuali non sono casuali. Tuttavia, una volta che le condizioni iniziali del generatore sono sconosciute, i valori generati sono indistinguibili dai numeri realmente casuali. Esistono diverse tecniche per questo scopo, come i generatori basati sull'aritmetica modulare o quelli basati su cifrari, tra gli altri.

Infine, nello spirito dei modelli linguistici di grandi dimensioni, potrebbero essere usati come sostituti delle scimmie nel nostro esperimento? ChatGPT o DeepSeek potrebbero scrivere spontaneamente il Don Chisciotte se gli venisse chiesto di farlo per un tempo infinito? Il ragionamento di cui sopra non regge, poiché questi modelli generano testo in base alla probabilità che le parole appaiano in un dato contesto; non sono il prodotto di un processo casuale. E poiché il Don Chisciotte è tra i testi su cui sono stati addestrati, potrebbe sembrare che la probabilità che riproducano l'intera opera sia maggiore rispetto al caso precedente.

Tuttavia, diversi fattori rendono questa eventualità estremamente improbabile . In primo luogo, questi modelli non sono addestrati per replicare fedelmente i testi spagnoli del Secolo d'Oro, ma piuttosto quelli moderni, il che rende difficile per loro seguire accuratamente lo stile di Cervantes. Inoltre, questi programmi sono progettati per non copiare alla lettera ampie porzioni dei testi con cui hanno imparato, riducendo ulteriormente le possibilità di riprodurre opere complete. Questo, unito ad altre limitazioni del programma, significa che, sebbene il modello possa essere in grado di avvicinarsi più di una scimmia a determinate parti del testo, la probabilità che lo riproduca nella sua interezza è minima.

Pablo García Arce è ricercatore predottorale presso l'Istituto di scienze matematiche (ICMAT) del Consiglio nazionale delle ricerche spagnolo (CSIC).

Caffè e Teoremi è una sezione dedicata alla matematica e all'ambiente in cui si sviluppa, coordinata dall'Istituto di Scienze Matematiche (ICMAT). In questa sezione, ricercatori e membri del centro descrivono gli ultimi progressi in questa disciplina, condividono punti di contatto tra la matematica e altre espressioni sociali e culturali e ricordano coloro che ne hanno plasmato lo sviluppo e hanno saputo trasformare il caffè in teoremi. Il nome evoca la definizione del matematico ungherese Alfred Rényi: "Un matematico è una macchina che trasforma il caffè in teoremi".

A cura, traduzione e coordinamento di Ágata Timón García-Longoria , coordinatrice dell'Unità di Cultura Matematica presso l'Istituto di Scienze Matematiche (ICMAT).